Математика • 9 класс

Нахождение длин и углов с помощью скалярного произведения

Длина вектора $\vec{𝐴 𝐵}$ в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора:
$\vec{𝐴 𝐵} = \sqrt{{(𝑥_{2} − 𝑥_{2})}^{2} + {(𝑦_{2} − 𝑦_{1})}^{2}} .$
Формула для вычисления угла между векторами:
$cos φ = \frac{𝑎_{𝑥} \cdot 𝑏_{𝑥} + 𝑎_{𝑦} \cdot 𝑏_{𝑦}}{|\vec{𝑎}| \cdot |\vec{𝑏}|} .$
Пример. Найдите угол между векторами $\vec{𝑎}$ и $\vec{𝑏}$ , если $\vec{𝑎} = 4 \vec{𝑖} + 6 \vec{𝑗}, \vec{𝑏} = 6 \vec{𝑖} + 4 \vec{𝑗} .$
Решение. Координаты векторов $\vec{𝑎} = (4; 6); \vec{𝑏} (6; 4) .$
$cos φ = \frac{𝑎_{𝑥} \cdot 𝑏_{𝑥} + 𝑎_{𝑦} \cdot 𝑏_{𝑦}}{|\vec{𝑎}| \cdot |\vec{𝑏}|} = \frac{4 \cdot 6 + 6 \cdot 4}{\sqrt{16 + 36} \cdot \sqrt{36 + 16}} = \frac{12}{13}; φ = arccos \frac{12}{13} .$

Было полезно?