Дисперсия случайной величины

• Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от её математического ожидания $𝑀\left(𝑋\right)$:

$𝐷\left(𝑋\right)=𝑀{\left(\right[𝑋-𝑀 \left(𝑋\right)]}^2).$

• Если из дисперсии извлечь квадратный корень, получится среднеквадратичное (стандартное) отклонение:

  $σ=\sqrt{𝐷\left(𝑋\right)}= \sqrt{𝑀{ \left(\right[𝑋-𝑀 \left(𝑋\right)]}^2\text{)}}.$

• Чем меньше дисперсия, тем меньше вероятность, что случайная величина сильно отклонится от своего математического ожидания.

  Пример. Найдите дисперсию и стандартное отклонение при броске игральной кости с 6 гранями.

  Решение. Распределение вероятности при броске кости описывается формулой p₁, p₂, ..., ${𝑝}_6=\frac{1}{6},$ так как выпадение любой из 6 граней равновероятно. Это означает, что математическое ожидание выпавшего при однократном броске кости значения составляет $𝑀\left(𝑋\right)=\sum {𝑥}_{𝑖}{𝑝}_{𝑖}=\mathrm{3,5}.$Дисперсия $𝐷\left(𝑋\right)=\sum \frac{{𝑥}_{𝑖} -{𝑀\left(𝑋\right)}^2}{6}\approx \mathrm{2,92}.$

• Среднеквадратичное отклонение $σ=\sqrt{𝐷 \left(𝑋\right)}\approx \mathrm{1,71}.$