Решение практических задач координатным методом

Пример. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки A в 2 раза больше расстояния от точки B.

Решение. Введём прямоугольную систему координат (рис 1). Найдём расстояния от произвольной точки $𝑀 (𝑥;𝑦)$ до точек A и B:$𝐴𝑀=\sqrt{{𝑥}^2+{𝑦}^2},$BM $= \sqrt{{\left(𝑥 \text{−} 𝑎\right)}^2+{𝑦}^2}$. По условию AM = 2BM, тогда ${𝐴𝑀}^2=4{𝐵𝑀}^2.$Поэтому ${𝑥}^2+{𝑦}^2=4\left({\left(𝑥\text{−}𝑎\right)}^2+{𝑦}^2\right).$Решая данное уравнение, получим уравнение окружности ${\left(𝑥 \text{−} \frac{4}{3}𝑎\right)}^2+{𝑦}^2=\frac{4}{9}{𝑎}^2.$Искомым множеством является окружность радиуса $\frac{2}{3}𝑎$ с центром C (рис 2).