Формула полной вероятности. Формула Байеса

• Дерево вероятностей (дерево случайного эксперимента) — это графическая модель, показывающая последовательность случайных событий и их исходы для анализа сложных экспериментов с зависимыми результатами.
• По свойству дерева к любой его вершине ведёт единственная цепь из корня. Она показывает, какая цепочка случайных событий должна произойти, чтобы попасть в данное состояние.
• Расчёт вероятности с использованием дерева:

  • вероятность элементарного события определяется перемножением условных вероятностей всех элементов;
  • вероятность составного события рассчитывается сложением вероятностей всех последовательностей, ведущих к этому событию от начальной точки.

• Набор случайных событий $B_1, B_2, \dots , B_n$ называется полной группой событий, если все эти события попарно несовместны, а их объединение равно множеству всех исходов Ω.

• Формула полной вероятности, которая выражает безусловную вероятность события A через условные вероятности:

$P \left(A\right)=P \left(B_1\right)\cdot P \left(A/B_1\right)+P \left(B_2\right)\cdot P \left(A/B_2\right)+ \dots +P \left(B_n\right)\cdot P \left(A/B_n\right)$.

• Априорная вероятность $P \left(B_i\right)$ — уверенность в событии без дополнительных данных.

• Апостериорная вероятность $P \left(B_i/A\right)$ — обновлённая оценка вероятности гипотезы после учёта новых данных.

• Из формулы полной вероятности следует формула Байеса:

$P \left(B_1/A\right)=\frac{P \left(A{B}_1\right)}{P \left(A\right)}=\frac{P \left(A/B_1\right)\cdot P \left(B_1\right)}{P \left(A\right)}.$