Облако знаний. Решение алгебраических уравнений высших степеней. Математика. 10 класс

Вычислить уравнения высших степеней можно различными способами:
- разложить многочлен на множители (группировкой, использовать формулы сокращённого умножения, по схеме Горнера или теореме Безу, путём деления на многочлен);
- методом замены переменной (в ситуации, когда это биквадратные или возвратные уравнения, либо уравнения, в которых выделяются одинаковые многочлены; вводом неопределённых коэффициентов);
- функционально-графическим методом (применение производной, теоремы о монотонности (возрастание и убывание) функций, с помощью составления уравнения касательной).

Пример. Решите уравнение $(𝑥^{2} + 4 𝑥) (𝑥^{2} + 4 𝑥 - 17) = - 60$ .

I способ. Методом замены переменных.	II способ. По теореме Безу.
Пусть $𝑥^{2} + 4 𝑥 = 𝑚$ . Тогда получается уравнение $𝑚 (𝑚 - 17) = - 60$ . Решив его, получим $𝑚_{1} = 12; 𝑚_{2} = 5$ . Выполняем обратную замену: $𝑥^{2} + 4 𝑥 = 12$ и $𝑥^{2} + 4 𝑥 = 5$ . Получаем результаты. $𝑥_{1} = - 6; 𝑥_{2} = 2; 𝑥_{3} = - 5; 𝑥_{4} = 1 .$	Раскроем скобки $𝑥^{4} + 8 𝑥^{3} - 𝑥^{2} - 68 𝑥 + 60 = 0$ . Сумма всех коэффициентов многочлена равна $0$ , значит $𝑥_{1} = 1$ . Разделим $𝑥^{4} + 8 𝑥^{3} - 𝑥^{2} - 68 𝑥 + 60$ на $𝑥 - 1$ , получим $𝑥^{3} + 9 𝑥^{2} + 8 𝑥 - 60$ . Проверим $𝑥_{2} = 2$ (следующий целочисленный делитель). Разделим $𝑥^{3} + 9 𝑥^{2} + 8 𝑥 - 60$ на $𝑥 - 2$ , получим $𝑥^{2} + 11 𝑥 + 30$ . Решим квадратное уравнение и узнаем оставшиеся корни $𝑥_{3} = - 6$ ; $𝑥_{4} = - 5$ .

I способ. Методом замены переменных.

II способ. По теореме Безу.

Пусть $𝑥^{2} + 4 𝑥 = 𝑚$ . Тогда получается уравнение $𝑚 (𝑚 - 17) = - 60$ . Решив его, получим $𝑚_{1} = 12; 𝑚_{2} = 5$ . Выполняем обратную замену: $𝑥^{2} + 4 𝑥 = 12$ и $𝑥^{2} + 4 𝑥 = 5$ . Получаем результаты.

$𝑥_{1} = - 6; 𝑥_{2} = 2; 𝑥_{3} = - 5; 𝑥_{4} = 1 .$

Раскроем скобки $𝑥^{4} + 8 𝑥^{3} - 𝑥^{2} - 68 𝑥 + 60 = 0$ . Сумма всех коэффициентов многочлена равна $0$ , значит $𝑥_{1} = 1$ . Разделим $𝑥^{4} + 8 𝑥^{3} - 𝑥^{2} - 68 𝑥 + 60$ на $𝑥 - 1$ , получим $𝑥^{3} + 9 𝑥^{2} + 8 𝑥 - 60$ . Проверим $𝑥_{2} = 2$ (следующий целочисленный делитель). Разделим $𝑥^{3} + 9 𝑥^{2} + 8 𝑥 - 60$ на $𝑥 - 2$ , получим $𝑥^{2} + 11 𝑥 + 30$ . Решим квадратное уравнение и узнаем оставшиеся корни $𝑥_{3} = - 6$ ; $𝑥_{4} = - 5$ .