Метод вспомогательной площади

• Метод вспомогательной площади – метод решения задач путём подсчёта площади фигуры различным способом.
• Пример.

Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.

Решение.

По формуле Герона найдём площадь треугольника:

$𝑆=\sqrt{𝑝(𝑝-𝑎)(𝑝-𝑏)(𝑝-𝑐)}=\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}=6$.

Используя формулы $𝑆=\frac{𝑟𝑝}{2}=\frac{𝑎𝑏𝑐}{4𝑅}$, можно найти радиусы окружностей:

$𝑟=\frac{2𝑆}{𝑝}=\frac{2\cdot 6}{6}=2,$

$𝑅=\frac{𝑎𝑏𝑐}{4𝑆}=\frac{3\cdot 4\cdot 5}{4\cdot 6}=\mathrm{2,5}.$