Метод математической индукции

• Метод математической индукции заключается в следующем: утверждение о том, что некоторый факт имеет место при любом натуральном числе n, верно, если выполняются условия:

  1. утверждение верно при n = 1 (базис индукции);
  2. из справедливости утверждения при n = k следует его справедливость при n = k + 1 (индукционный шаг).

 

Пример. Доказать, что сумма первых n натуральных членов равна:

${𝑆}_{𝑛}=\frac{𝑛(𝑛+1)}{2}.$

1. Первый шаг доказательства (базис индукции): проверить истинность утверждения при n = 1.

   ${𝑆}_1=\frac{1(1+1)}{2}=1.$

2. Второй шаг доказательства (индукционный шаг): предположить, что утверждение справедливо при n = k , где k – произвольное натуральное число (k ∈ N), и доказать, что утверждение верно при

   n = k + 1.

   ${𝑆}_{𝑘+1}=\frac{(𝑘+1)(𝑘+1+1)}{2}=\frac{(𝑘+1)(𝑘+2)}{2}.$

Утверждение доказано, сумма первых n натуральных членов равна:

${𝑆}_{𝑛}=\frac{𝑛(𝑛+1)}{2}.$