Облако знаний. Метод математической индукции. Математика. 9 класс

Метод математической индукции

Метод математической индукции используется для доказательства математических утверждений.
Утверждение о том, что некоторый факт имеет место при любом натуральном числе n, верно, если выполняются условия:
1. утверждение верно при n = 1 (базис индукции);
2. из справедливости утверждения при n = k следует его справедливость при n = k + 1 (индукционный шаг).
Пример. Докажите, что сумма первых n натуральных членов равна
$S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2} .$
1. Первый шаг доказательства (базис индукции): проверить истинность утверждения при n = 1.
  $S_{1} = \frac{1 (1 + 1)}{2} = 1 .$
2. Второй шаг доказательства (индукционный шаг): предположить, что утверждение справедливо при n = k, где k – произвольное натуральное число (k ∈ ℕ), и доказать, что утверждение верно при n = k + 1.
  $S_{k + 1} = \frac{(k + 1) (k + 1 + 1)}{2} = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} .$
3. Утверждение доказано, сумма первых n натуральных членов равна
  $S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2} .$

Было полезно?