Чётные и нечётные функции

• Функцию $\mathrm{𝑦}=\mathrm{𝑓}\left(\mathrm{𝑥}\right)$, $\mathrm{𝑥}\in \mathrm{𝑋}$, называют чётной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство $\mathrm{𝑓}\left(-\mathrm{𝑥}\right)=\mathrm{𝑓}\left(\mathrm{𝑥}\right)$.

Например, функция $\mathrm{𝑦}={\mathrm{𝑥}}^4$.

• Функцию $\mathrm{𝑦}=\mathrm{𝑓}\left(\mathrm{𝑥}\right)$, $\mathrm{𝑥}\in \mathrm{𝑋}$, называют нечётной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство $\mathrm{𝑓}\left(-\mathrm{𝑥}\right)=-\mathrm{𝑓}\left(\mathrm{𝑥}\right)$.

Например, функция $\mathrm{𝑦}={\mathrm{𝑥}}^3$.

• Функция не является ни чётной, ни нечётной, если эти два тождества не выполняются.

Например, функция $\mathrm{𝑦}=2\mathrm{𝑥}+3$.

• Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом $\mathrm{𝑥}$ содержит и противоположный элемент $-\mathrm{𝑥}$, то X называют симметричным множеством.

Примеры:

• $\left(-3;3\right),\mathrm{ }\left[-7;7\right];$ $(-\mathrm{\infty };\mathrm{ }+\mathrm{\infty })$ – симметричные множества;

• $\left[0,\mathrm{ }+\mathrm{\infty })\right.;$ $\left(-1;2\right)$; $\left[-7,\mathrm{ }\mathrm{ }7)\right.$ – несимметричные множества.

• Если функция $\mathrm{𝑦}=\mathrm{𝑓}\left(\mathrm{𝑥}\right)$ – чётная или нечётная, то её область определения $\mathrm{𝐷}\mathrm{ }\left(\mathrm{𝑓}\right)$ – симметричное множество.

• Если $\mathrm{𝐷}\mathrm{ }\left(\mathrm{𝑓}\right)$ – несимметричное множество, то функция $\mathrm{𝑦}=\mathrm{𝑓}\left(\mathrm{𝑥}\right)$ не является ни чётной, ни нечётной.