Разложение квадратного трёхчлена на множители

• Если дискриминант квадратного трехчлена ${\mathrm{𝑎}\mathrm{𝑥}}^2+\mathrm{𝑏}\mathrm{𝑥}+\mathrm{𝑐}$ положительный, то его можно разложить на линейные множители: ${\mathrm{𝑎}\mathrm{𝑥}}^2+\mathrm{𝑏}\mathrm{𝑥}+\mathrm{𝑐}=\mathrm{𝑎}\mathrm{ }(\mathrm{𝑥}\mathrm{ }-{\mathrm{𝑥}}_1)(\mathrm{𝑥}\mathrm{ }-{\mathrm{𝑥}}_2)$, где ${\mathrm{𝑥}}_1$ и ${\mathrm{𝑥}}_2$ – корни квадратного трехчлена.

Пример: Разложить на множители: $3{\mathrm{𝑥}}^2+5\mathrm{𝑥}\mathrm{ }-2.$

Решение:

$3{\mathrm{𝑥}}^2+5\mathrm{𝑥}\mathrm{ }-2=0$

$\mathrm{𝐷}={\text{b}}^2\mathrm{ }-4\mathrm{𝑎}\mathrm{𝑐}$

${\mathrm{𝐷}=\text{5}}^2\mathrm{ }-4·3·\left(-2\right)=25+24=49\mathrm{ }>0$

${\mathrm{𝑥}}_1=\frac{-\mathrm{𝑏}+\mathrm{ }\sqrt{\mathrm{𝐷}}}{2\mathrm{𝑎}}$

${\mathrm{𝑥}}_1=\frac{-5+\mathrm{ }\sqrt{49}}{2\mathrm{ }\times \mathrm{ }3}=\frac{-5+7}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

${\mathrm{𝑥}}_2=\frac{-\mathrm{𝑏}-\mathrm{ }\sqrt{\mathrm{𝐷}}}{2\mathrm{𝑎}}$

${\mathrm{𝑥}}_2=\frac{-5-\mathrm{ }\sqrt{49}}{2\mathrm{ }\times \mathrm{ }3}=\frac{-5-7}{6}=\frac{-12}{6}=-2$

${3\mathrm{𝑥}}^2+5\mathrm{𝑥}\mathrm{ }-2=3\left(\mathrm{𝑥}\mathrm{ }-\mathrm{ }\frac{1}{3}\right)\left(\mathrm{𝑥}+2\right)$