Дифференцирование обратной функции

• Пусть y = f (x) и x = g (y) – взаимно обратные функции. Тогда, если функция y = f (x) имеет производную f ′ (x), отличную от нуля, то обратная функция имеет производную $$g^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{f^{\prime }\left(y\right)}$$.

  Пример 1. Найти производную функции y = ln x.

  Решение. Найдём функцию, обратную данной. Для натурального логарифма обратной является функция e^y. Тогда:

  $\frac{1}{{(e}^y)\prime }=\frac{1}{e^{\text{ln}x}}.$

  Применим основное логарифмическое тождество:

  $\frac{1}{e^{\text{ln}x}}=\frac{1}{x}.$

• Полученная формула применяется для вывода формул дифференцирования обратных тригонометрических функций:

${\left(\text{a}\text{rcsin} x\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$

${\left(\text{a}\text{rccos} x\right)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$

${\left(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g} x\right)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2},$

${\left(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g} x\right)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}.$