Решение тригонометрических уравнений методом замены переменных

• преобразовать исходное уравнение с помощью тригонометрических формул, если это необходимо;
• заменить переменную и перейти к новому уравнению;
• решить новое уравнение;
• сделать обратную замену и решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Пример. Решить уравнение $2 {\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{2}x+\cos 4x-2=0.$

Решение. Используем тригонометрические формулы, тогда:

$1-cos 2x+2 {\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{2}2x-1-2=0.$

Преобразуем уравнение, получим:

$2{ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{2}2x-cos 2x-2=0.$

Сделаем замену

$cos 2x=t, \left|t\right|\le 1.$

Тогда уравнение примет вид:

$2t^2-t-2=0.$

Решим полученное уравнение, получим корни:

$t_1=\frac{1+\sqrt{17}}{4}>1,t_2=\frac{1-\sqrt{17}}{4}\in \left[-1;1\right]$.

Сделаем обратную замену

$cos 2x=\frac{1-\sqrt{17}}{4}$.

Отсюда

$x=\pm \frac{1}{2} arccos \frac{1-\sqrt{17}}{4}+πk,k\in \text{ℤ}.$

Ответ. $\pm \frac{1}{2} arccos \frac{1-\sqrt{17}}{4}+πk,k\in \text{ℤ}.$