Преобразование тригонометрических выражений

• выражения с множеством тригонометрических функций упрощают, сводя к минимальному числу функций с помощью тригонометрических тождеств и формул приведения;
• для функций в высоких степенях применяют основное тригонометрическое тождество или формулы понижения степени;
• используют универсальную тригонометрическую подстановку – метод преобразования тригонометрических выражений, при котором синус, косинус и тангенс аргумента выражаются через тангенс половинного аргумента.

$\text{sin} \text{α}=\frac{2 \text{tg}\frac{\mathrm{\alpha }}{2}}{1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\frac{\mathrm{\alpha }}{2}},$

$\text{cos} \mathrm{\alpha }=\frac{1-{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\frac{\mathrm{\alpha }}{2}}{1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\frac{\mathrm{\alpha }}{2}},$

$\text{tg} α=\frac{2 \text{tg}\frac{\mathrm{\alpha }}{2}}{1-{\text{tg}}^2\frac{\mathrm{\alpha }}{2}}.$

Пример. Упростите выражение

${\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\frac{\mathrm{\alpha }}{2}-\frac{1}{2} \text{cos}\text{α}\text{.}$

Решение. Применим формулу понижения степени для косинуса. Получим:

$\frac{\text{c}\text{os}\text{α}+1}{2}-\frac{1}{2} \text{cos} \mathrm{\alpha }=\frac{\text{cos}\text{α}+1-\text{cos}\text{α}}{2}=\frac{1}{2}.$

Ответ. $\mathrm{0,5}$.