Арифметические действия с числами в стандартном виде

• Чтобы сложить или вычесть числа, записанные в стандартном виде нужно:

  • записать числа в обычном виде (в виде целого числа или десятичной дроби);
  • выполнить сложение или вычитание.

• Пример. $\mathrm{1,7}\text{⋅}{10}^5+\mathrm{1,2}\text{⋅}{10}^4=170 000+12 000=182 000=\mathrm{1,82}\text{⋅}{10}^5$.

• Мантисса числа в стандартном виде – это натуральное число или десятичная дробь, которая выражает значение числа без учёта порядка.
• Второй способ сложения или вычитания чисел в стандартном виде:

  • если порядок чисел одинаковый, то соответственно сложить или вычесть мантиссы чисел в стандартном виде, порядок сохранить тот, что указан в степени числа 10 для обоих чисел;
  • если порядок чисел разный, необходимо сначала привести их к одному порядку, а затем выполнять действия.

• Примеры.
  1) $\mathrm{1,7}\text{⋅}{10}^4-\mathrm{1,2}\text{⋅}{10}^4=\mathrm{0,5}\text{⋅}{10}^4$;
  2) $\mathrm{1,7}\text{⋅}{10}^5+\mathrm{1,2}\text{⋅}{10}^4=17\text{⋅}{10}^4+\mathrm{1,2}\text{⋅}{10}^4=\mathrm{18,2}\text{⋅}{10}^4=\mathrm{1,82}\text{⋅}{10}^5.$

• Чтобы умножить/разделить числа, записанные в стандартном виде, необходимо перемножить/разделить их мантиссы, а порядки чисел — сложить/вычесть.

• В общем виде правила умножения и деления чисел в стандартном виде можно записать так:
  

  $\left(a\text{⋅}{10}^n\right)\cdot \left(b\text{⋅}{10}^m\right)=\left(a\cdot b\right)\text{⋅}{10}^{n+m}, \left(a\text{⋅}{10}^n\right) :\left(b\text{⋅}{10}^m\right)=\left(a :b\right)\text{⋅}{10}^{n-m}.$

• Примеры.
  1) $\left(7\text{⋅}{10}^7\right)\cdot \left(\mathrm{1,2}\text{⋅}{10}^{-3}\right)=\left(7\cdot \mathrm{1,2}\right)\text{⋅}{10}^{7+\left(-3\right)}=\mathrm{8,4}\text{⋅}{10}^4;$
  2) $\left(\mathrm{8,4}\text{⋅}{10}^7\right) :\left(\mathrm{1,2}\text{⋅}{10}^{-3}\right)=\left(\mathrm{8,4} :\mathrm{1,2}\right)\text{⋅}{10}^{7-(-3)}=7\text{⋅}{10}^{10}.$

• Чтобы возвести в степень числа в стандартном виде, необходимо мантиссу возвести в степень, а порядок числа умножить на показатель степени. При несоответствующем основании сдвигают запятую и изменяют порядок.
• В общем виде правило возведения в степень чисел в стандартном виде можно записать так:

${\left(a\text{⋅}{10}^n\right)}^m=a^m\text{⋅}{10}^{n\cdot m}.$

• Пример. ${\left(\mathrm{8,4}\text{⋅}{10}^4\right)}^2={\mathrm{8,4}}^2\text{⋅}{10}^{4\cdot 2}=\mathrm{70,56}\text{⋅}{10}^8=\mathrm{7,056}\text{⋅}{10}^9.$