Ковариация двух случайных величин

• Ковариация $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(𝑋, 𝑌)$ – это мера зависимости между двумя случайными величинами $𝑋 \mathrm{и} 𝑌$, которая определяется математическим ожиданием произведения отклонений этих величин от их средних значений:

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(𝑋, 𝑌\right)=𝑀\left(\left(𝑋-𝑀\left(𝑋\right)\right)\left(𝑌-𝑀\left(𝑌\right)\right)\right)=𝑀\left(𝑋𝑌\right)-𝑀\left(𝑋\right)𝑀\left(𝑌\right).$

• Свойства ковариации:

  • $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(𝑋, 𝑋\right)=𝐷\left(𝑋\right)$;

  • $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(𝑋, 𝑌\right)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(𝑌, 𝑋\right)$;

  • $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(𝑋, 𝑌\right)=0$, если случайные величины независимы.

• Ковариация двух случайных величин по абсолютной величине не превосходит произведения их среднеквадратичных отклонений:

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(𝑋, 𝑌\right)\le {\mathrm{\sigma }}_{𝑋}{\mathrm{\sigma }}_{𝑌}.$