Рациональные неравенства с параметром

Пример. Решите неравенство с параметром $\frac{𝑥-𝑎}{𝑥-5}\ge 0$.

Рассмотрим функцию $𝑓\left(𝑥\right)=\frac{𝑥-𝑎}{𝑥-5}$: $𝐷\left(𝑓\right)=\left(-\infty ;5\right)\cup \left(5; +\infty \right)$; $𝑓\left(𝑥\right)=0$ при $𝑥=𝑎$. Точки 5 и a разбивают числовую прямую на интервалы, в каждом из которых функция сохраняет знак. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Если $𝑎<5$, то $𝑥\in \left(\left.-\infty ; 𝑎\right]\cup \left(5; +\infty \right)\right.$.

2. Если $𝑎=5$, то $𝑥\in \left(-\infty ;5\right)\cup \left(5; +\infty \right)$.

3. Если $𝑎>5$, то $𝑥\in \left(-\infty ;5\right)\cup \left[\left.𝑎; +\infty \right)\right.$.