Облако знаний. Системы рациональных уравнений и неравенств. Математика. 11 класс

Системы рациональных уравнений и неравенств — это несколько уравнений или неравенств, которые должны выполняться одновременно.
Решение системы — это значения переменной, которые подходят для всех уравнений или неравенств системы сразу.
Пример 1. Решите систему уравнений $\{\begin{matrix} 4 x^{2} - 7 x y + y^{2} = 3, \\ 4 x + x y - 2 y = 8 . \end{matrix}$
Решение 1. Выполним равносильные преобразования уравнений. Получим:
$\{\begin{matrix} 4 x^{2} - 7 x y + y^{2} = 3, \\ 4 x + x y - 2 y - 8 = 0; \end{matrix} \{\begin{matrix} 4 x^{2} - 7 x y + y^{2} = 3, \\ x (4 + y) - 2 (y + 4) = 0; \end{matrix} \{\begin{matrix} 4 x^{2} - 7 x y + y^{2} = 3, \\ (x - 2) (y + 4) = 0 . \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} 4 x^{2} - 7 x y + y^{2} = 3, \\ x - 2 = 0; \end{matrix} \{\begin{matrix} 4 \cdot 2^{2} - 7 \cdot 2 y + y^{2} = 3, \\ x = 2; \end{matrix} \{\begin{matrix} y^{2} - 14 y + 13 = 0, \\ x = 2; \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = 2, \\ [\begin{matrix} y = 1, \\ y = 13 . \end{matrix} \end{matrix} \{\begin{matrix} 4 x^{2} - 7 x y + y^{2} = 3, \\ y + 4 = 0; \end{matrix} \{\begin{matrix} 4 x^{2} + 28 x + 13 = 0, \\ y = - 4; \end{matrix} \{\begin{matrix} [\begin{matrix} x = - 0,5, \\ x = - 6,5, \end{matrix} \\ y = - 4 . \end{matrix}$
Ответ. (2; 1), (2; 13), (–0,5; –4), (–6,5; –4).
Пример 2. Решите систему неравенств $\{\begin{matrix} (x - 2) (x - 3) \leq 0, \\ \frac{x + 3}{x^{2} - 4} \geq 0 . \end{matrix}$
Решение 2. Решим каждое неравенство методом интервалов, а после объединим решения. Получим:
$\{\begin{matrix} (x - 2) (x - 3) \leq 0, \\ \frac{x + 3}{x^{2} - 4} \geq 0; \end{matrix} \{\begin{matrix} 2 \leq x \leq 3, \\ [\begin{matrix} - 3 \leq x < - 2, \\ x > 2; \end{matrix} \end{matrix} x \in (2; 3] .$
Ответ. $(2; 3]$ .