Математическое ожидание биномиального распределения

• Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта n раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью p, «неудача» — с вероятностью q.
  Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:
  

  $P_n\left(k\right)=C_n^k\cdot p^k\cdot q^{n-k},$

  где $0<p<1;q=1-p; k=0, 1, 2, \dots ,n.$

• Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа $X=k$ наступлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p.

• Метод индикаторов — это способ решения задач с применением индикаторов событий. Индикатор события A — бинарная случайная величина, которая принимает значение 1, если событие A произошло, и значение 0, если событие A не произошло.

• Математическое ожидание биномиального распределения вычисляется по формуле:
  

  $E\left(X\right)=np,$

  где N – количество испытаний, p – вероятность успеха.

• Пример. Футболист забивает гол с вероятностью 0,6. За игру он сделал 25 попыток. Чему равно математическое ожидание числа попаданий?
  Решение. Это испытание Бернулли с $n=25$ и $p=\mathrm{0,6}.$ Если X – это число точных попаданий, то

$E\left(X\right)=np=25\cdot \mathrm{0,6}=15.$