Решение линейных уравнений в целых числах (диофантовых уравнений)

• теорией делимости;
• выражением одной переменной через вторую и выделению целой части дроби;
• полным перебором вариантов возможных значений;
• разложением на множители;
• приёмом, базирующемся на выделении полного квадрата.

Необходимое условие. Если коэффициенты a и b имеют общий делитель $d$, то обе части уравнения можно сократить на $d$. Если при этом в правой части получится нецелое число, то такое уравнение не будет иметь решений.

Достаточное условие. Если a и b – взаимно простые числа, то уравнение имеет бесконечно много решений в целых числах.
Пример. Решите уравнение $a^2-b^2=91$.
Решение. Разложим левую часть на множители: $\left(a-b\right) (a+b)=91$. Делители числа $91$ – это $1, 7, 13, 91$, значит, число $91$ можно получить двумя способами: $91=1\cdot 91$ и $91=7\cdot 13.$ Благодаря этому, получим две системы уравнений:
$\left\{\begin{array}{c}\left(a-b\right)=1;\\ (a+b)=91.\end{array}\right.⟹\left\{\begin{array}{c}a=46;\\ b=45.\end{array}\right.$ и $\left\{\begin{array}{c}\left(a-b\right)=7;\\ (a+b)=13.\end{array}\right.⟹\left\{\begin{array}{c}a=3;\\ b=10.\end{array}\right.$
Ответ. $\left(46;45\right)$ и $\left(3;10\right)$.