Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим

• использование тригонометрических формул;
• введение новой переменной;
• деление обеих частей на cos x или sin x;
• замена переменной.

Пример. Решите уравнение sin x – 3 cos 2x = 2.

Решение. Применим формулу косинуса двойного угла и преобразуем уравнение. Получим: sin x – 3 (1 – 2 sin² x) = 2; 6 sin² x + sin x – 5 = 0. Введём замену переменной: sin x = t,$-1\le t\le 1.$ Тогда: 6t² + t – 5 = 0. Корнями полученного уравнения будут $t_1=-1, t_2=\frac{5}{6}$. Сделаем обратную замену:

$\left\{\begin{array}{c}\text{s}\text{i}\text{n} x=-1,\\ \text{s}\text{i}\text{n} x=\frac{5}{6};\hfill \end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}_1=-\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\text{π}n,\hfill \\ x_2={\left(-1\right)}^n\text{a}\text{r}\text{c}\text{s}\text{i}\text{n} \frac{5}{6}+\text{π}n,\end{array}\right. \right.$n ∈ ℤ.

Ответ. $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2πn;$ ${\left(-1\right)}^n\text{arcsin}\frac{5}{6}+π$n, n ∈ ℤ.