Теорема Чебышёва

• Теорема Чебышева. C вероятностью, сколь угодно близкой к 1, можно утверждать, что при достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое полученных значений случайно величины будет как угодно мало отличаться от ее математического ожидания.

• Если $X_1, X_2, \dots , X_n, \dots$ – попарно независимые случайные величины, причём дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа C), то, как бы мало ни было положительное число $ε$, вероятность неравенства:
  

  $\left|\frac{X_1 + X_2+ \dots + X_n}{n}-\frac{{M (X}_1) +M \left(X_2\right) + \dots +M (X_n)}{n}\right|<ε$

  будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

• Условие теоремы можно записать в виде:
  

  $\underset{n\to \infty }{\lim } P \left(\left|\frac{X_1 + X_2+ \dots + X_n}{n}-\frac{{M (X}_1) +M \left(X_2\right) + \dots +M (X_n)}{n}\right|<\mathrm{\epsilon }\right)=1.$

• Если $X_1, X_2, \dots , X_n, \dots$ – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание a, и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то:

$$\underset{n\to \infty }{\lim } P \left(\left|\frac{X_1 + X_2+ \dots + X_n}{n}-a\right|<\mathrm{\epsilon }\right)=1.$$