Применение свойств непрерывных функций для решения задач

Если функция $f\left(x\right)$ непрерывна на интервале $\left(a;b\right)$ и не обращается в ноль на этом интервале, то $f\left(x\right)$ сохраняет на нём постоянный знак.

Пример. Докажите, что уравнение $x^4+x^3-2x-5=0$ имеет хотя бы один вещественный корень на отрезке $\left[-2;1\right]$.
Решение. Вычислим значения функции $f\left(x\right)=x^4+x^3-2x-5$ при $x=-2$
и $x=1$: $f\left(-2\right)=7>0$; $f\left(1\right)=-5<0$.
Получим, что функция на концах интервала принимает значения разных знаков, следовательно, уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень в данном интервале.