Облако знаний. Многочлены от одной переменной. Метод неопределённых коэффициентов. Математика. 10 класс

Многочлены от одной переменной. Метод неопределённых коэффициентов

Многочлены от одной переменной – это сумма одночленов, каждый из которых зависит только от одной переменной.
Метод неопределённых коэффициентов – это способ разложения многочленов на множители, который позволяет находить коэффициенты для каждого элемента разложения.
Алгоритм разложения многочлена методом неопределённых коэффициентов:
- разбить многочлен на сомножители;
- умножить сомножители и получить многочлен с неопределёнными коэффициентами;
- приравнять коэффициенты исходного и полученного многочленов;
- решить систему уравнений для нахождения коэффициентов;
- восстановить сомножители.
Пример. Разложите на множители многочлен $3 x^{3} - x^{2} - 3 x + 1$ .

Решение. Это многочлен третьей степени, он разлагается на два сомножителя – линейный и квадратичный.

$(x - p) (a x^{2} + b x + c) = a x^{3} + b x^{2} + c x - a p x^{2} - p b x - p c .$

Далее приравняем коэффициенты при одинаковых степенях. Получим систему уравнений с четырьмя неизвестными:

$\{\begin{matrix} a = 3, \\ b - a p = - 1, \\ c - b p = - 3, \\ - p c = 1 . \end{matrix}$
Решив эту систему, получим: $a = 3, p = 1, b = 2, c = - 1$ .

Ответ. $(x - 1) (3 x^{2} + 2 x - 1) .$

Было полезно?