Вторая производная функции

• Пусть функция $𝑓\left(𝑥\right)$ имеет производную ${𝑓}^{\prime }\left(𝑥\right)$ в каждой точке промежутка X. Тогда ${𝑓}^{\prime }\left(𝑥\right)$ – это функция, тоже определённая на промежутке X. Если функция ${𝑓}^{\prime }\left(𝑥\right)$ имеет производную в каждой точке промежутка X, то её называют производной второго порядка функции $𝑓\left(𝑥\right)$ и обозначают: ${𝑓}^{\prime \prime }\left(𝑥\right)$. Тогда ${𝑓}^{\prime \prime }\left(𝑥\right)$ тоже определена на промежутке X.

• Аналогично определяются производные высших порядков ${𝑓}^{\left(𝑛\right)}\left(𝑥\right)$ $(𝑛\in 𝑁, 𝑛\ge 3)$ функции $𝑓\left(𝑥\right)$.

Пример.

Найдите производную второго порядка функции $𝑓\left(𝑥\right)={𝑥}^7+{𝑥}^5+𝑥+1$.

Решение. ${𝑓}^{\prime }\left(𝑥\right)={\left({𝑥}^7+{𝑥}^5+𝑥+1\right)}^{\prime }=7{𝑥}^6+5{𝑥}^4+1$.

${𝑓}^{\prime \prime }\left(𝑥\right)={\left(7{𝑥}^6+5{𝑥}^4+1\right)}^{\prime }=42{𝑥}^5+20{𝑥}^3$.