Математика • 10 класс

Вторая производная функции

Пусть функция $f (x)$ имеет производную $f^{'} (x)$ в каждой точке промежутка X. Тогда $f^{'} (x)$ – это функция, тоже определённая на промежутке X. Если функция $f^{'} (x)$ имеет производную в каждой точке промежутка X, то её называют производной второго порядка функции $f (x)$ и обозначают: $f^{''} (x)$ . Тогда $f^{''} (x)$ тоже определена на промежутке X.
Если вторая производная функции существует в точке $x_{0}$ , то функция f (x) называют дважды дифференцируемой в этой точке.
Аналогично определяются производные высших порядков $f^{(n)} (x)$ $(n \in ℕ, n \geq 3)$ функции $f (x)$ .
Пример.
Найдите производную второго порядка функции $f (x) = x^{7} + x^{5} + x + 1 .$
Решение. $f^{'} (x) = {(x^{7} + x^{5} + x + 1)}^{'} = 7 x^{6} + 5 x^{4} + 1 .$
$f^{''} (x) = {(7 x^{6} + 5 x^{4} + 1)}^{'} = 42 x^{5} + 20 x^{3} .$

Было полезно?