Окружность, вписанная в треугольник

• Окружностью, вписанной в треугольник, называют окружность, которая касается всех сторон треугольника.
• Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.
• Для произвольного треугольника справедливо равенство

$𝑟=\sqrt{\frac{(𝑝-𝑎)(𝑝-𝑏)(𝑝-𝑐)}{𝑝}}$,

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, $𝑝=\frac{1}{2}(𝑎+𝑏+𝑐)$ – полупериметр.

• Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

$𝑟=\frac{𝑏}{2}\sqrt{\frac{2𝑎-𝑏}{2𝑎+𝑏}}$,

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание.

• Для равностороннего треугольника справедливо равенство

$𝑟=\frac{𝑎\sqrt{3}}{6}$,

где a – сторона равностороннего треугольника.

• Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

$𝑟=\frac{1}{2}\left(𝑎+𝑏-𝑐\right)=\frac{1}{2}\left(𝑎+𝑏-\sqrt{{𝑎}^2+{𝑏}^2}\right)$,

где a, b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза.