Симметрические системы

• Система $\left\{\begin{array}{c}{𝑓}_1\left(𝑥,𝑦\right)=0,\\ {𝑓}_2\left(𝑥,𝑦\right)=0\end{array}\right.$ называется симметрической, если функции f₁ и f₂ таковы, что они не меняются от перестановки местами переменных x и y.

То есть, f₁ (y, x) = f₁ (x, y) и f₂ (y, x) = f₂ (x, y).

• При решении симметрических систем используют двойную замену

$𝑢 = 𝑥 + 𝑦, 𝑣 = 𝑥𝑦.$

Например, $\left\{\begin{array}{c}{𝑥}^2+{𝑦}^2=5,\\ 𝑥𝑦=2;\end{array}\right.$⟺$\left\{\begin{array}{c}{𝑢}^2-2𝑣=5,\\ 𝑣=2;\end{array}\right.$⟺$\left\{\begin{array}{c}𝑢=\pm 3,\\ 𝑣=2\end{array}\right.$ и т. д.

Затем осуществляют обратную замену переменных и находят решение системы.